Algoritma Extended Kalman Filter

Algoritma Extended Kalman Filter adalah salah satu algoritma yang digunakan untuk memperkirakan hasil berikutnya berdasarkan data-data yang sudah ada sebelumnya. Contoh yang dibahas kali ini adalah mengenai memperkirakan penjualan pada periode berikutnya berdasarkan data penjualan pada periode sebelumnya.
Algoritma ini merupakan pengembangan dari Algoritma Kalman Filter yang sudah dijelaskan sebelumnya. Algoritma ini digunakan dalam permasalahan non-linier, dan yang akan dilakukan algoritma ini adalah melakukan linearisasi pada rata-rata dan kovarians non-linier dan kemudian melakukan proses filter menggunakan variabel tersebut.

Diasumsikan ada 4 data barang yang sudah diketahui hasil penjualannya
Masing-masing barang memiliki data penjualan pada 5 periode sebelumnya
Maka tentukan prediksi penjualan untuk 3 periode berikutnya
Diasumsikan data penjualan adalah sebagai berikut:

Langkah pertama adalah memasukkan data-data yang digunakan.
Contoh data awal adalah sebagai berikut:

data=[10 12 8 11 20; ...
      15 12 13 14 14; ...
      9 7 15 15 10; ...
      1 2 4 12 13];

Sebelum masuk kedalam langkah-langkah pembahasan algoritma, ada beberapa konstanta atau parameter yang harus diketahui, yaitu:
* Tentukan jumlah state yang digunakan
State ini merupakan banyak data yang dimasukkan ke dalam fungsi non linier
Diasumsikan dalam kasus ini, jumlah state ada 3 buah

jumlahState = 3;

Langkah-langkah penggunaan algoritma ini adalah

* Lakukan perhitungan pada masing-masing data (poin 1 – 4)

for i=1:size(data,1)
. . .

1. Hitung rata-rata dan standar deviasi dari data yang sedang dihitung
Rata-rata adalah jumlah semua data dibagi dengan jumlah datanya
Standar deviasi adalah akar dari ((kuadrat dari (jumlah dari (data – rata-rata))) / jumlah data)

rata2 = mean(data(i,:));
stdDev = sqrt(sum((data(i,:) - rata2) .^ 2) / jumlahData);

2. Beri nilai awal untuk setiap variabel yang dibutuhkan
Penjelasan lebih lanjut mengenai masing-masing variabel dapat dilihat pada skrip dibawah ini

2a. Kovarians Noise Proses

Q = stdDev^2 * eye(jumlahState); 

2b. Kovarians Noise Observasi

R = stdDev^2;                    

2c. Persamaan Non-linier State
Jumlah Persamaan Non-linier harus sama dengan parameter jumlah state

f = @(x)[x(2); x(3); sqrt(-0.5*x(1)*x(1) + 0.5*x(2)*x(2) + x(3)*x(3))];  

2d. Persamaan Observasi

h = @(x)x(3);

2e. State awal
Jumlah elemen state awal harus sama dengan parameter jumlah state

s = [-1; -1; -1];

2f. Estimasi Vektor State

x = s;

2g. Kovarians Estimasi Vektor State

P = eye(jumlahState);

3. Lakukan perulangan sebanyak jumlah data yang ada (poin 3a – 3c)

for j=1:jumlahData
. . .

3a. Tentukan data observasi yang akan dihitung

z = data(i,k);
%zV(k)  = z;

3b. Lakukan proses update nilai state yang digunakan

s = [s(2); s(3); z];
sV(:,k)= s;

3c. Lakukan proses perhitungan dengan menggunakan metode Extended Kalman Filter
Penjelasan tentang fungsi ini akan dijelaskan pada perhitungan dibawah ini (poin 3c1 – 3c7)

[x, P] = ekf(f,x,P,h,z,Q,R);
xV(:,k) = x;

Memasuki perhitungan pada fungsi ekf

3c1. Lakukan proses linierisasi pada persamaan non-linier pada Estimasi Vektor State sementara

[x1,A]=jacobian(f,x);

* Gunakan fungsi ini untuk melakukan linierisasi pada fungsi non-linier,
Teknik yang digunakan adalah diferensiasi kompleks dengan metode Jacobian

function [z,J]=jacobian(fungsi,x)
% z = f(x)
% J = f'(x)

z = fungsi(x);
n = numel(x);
m = numel(z);
J = zeros(m,n);
h = n*eps;
for k=1:n
    x1 = x;
    x1(k) = x1(k)+h*1i;
    J(:,k) = imag(fungsi(x1))/h;
end

3c2. Hitung nilai Kovarians Estimasi Vektor State sementara

P=A*P*A'+Q;

3c3. Lakukan proses linierisasi pada persamaan non-linier observasi menggunakan nilai state yang sudah dihitung sebelumnya

[z1,H]=jacobian(h,x1);

3c4. Hitung nilai Kovarians silang antara kedua persamaan tersebut

P12=P*H';

3c5. Lakukan faktorisasi menggunakan teknik Cholesky

R=chol(H*P12+R);

3c6. Hitung nilai U dengan cara membagi nilai Kovarians Silang dengan Kovarians Noise Observasi

U=P12/R;

3c7. Hitung nilai akhir dari Estimasi Vektor State dan Kovarians Estimasi Vektor State

x=x1+U*(R'\(z-z1));
P=P-U*U';

4. Nilai prediksi akhir diambil dari nilai Estimasi Transisi State yang sudah dihitung sebelumnya

kf(i) = round(xV(jumlahState, jumlahData),0);

Hasil akhir adalah:

Algoritma Extended Kalman Filter
Contoh: Memperkirakan penjualan pada periode berikutnya berdasarkan data penjualan pada periode sebelumnya
Diasumsikan ada 4 data barang yang sudah diketahui hasil penjualannya
Masing-masing barang memiliki data penjualan pada 5 periode sebelumnya
Maka tentukan prediksi penjualan untuk 3 periode berikutnya
Diasumsikan data penjualan adalah sebagai berikut: 
Nama Barang, Periode1, Periode2, Periode3, Periode4, Periode5
Pensil     , 10      , 12      , 8       , 11      , 20
Penghapus  , 15      , 12      , 13      , 14      , 14
Pena       , 9       , 7       , 15      , 15      , 10
Penggaris  , 1       , 2       , 4       , 12      , 13


Hasil Perhitungan dengan metode Extended Kalman Filter
Nama Barang, Periode1, Periode2, Periode3, Periode4, Periode5, Prediksi Periode berikutnya
Pensil     , 10      , 12      , 8       , 11      , 20      , 17
Penghapus  , 15      , 12      , 13      , 14      , 14      , 14
Pena       , 9       , 7       , 15      , 15      , 10      , 12
Penggaris  , 1       , 2       , 4       , 12      , 13      , 12

Contoh modul / source code menggunakan Matlab dapat didownload disini:

Jika membutuhkan jasa kami dalam pembuatan program, keterangan selanjutnya dapat dilihat di Fasilitas dan Harga
Jika ada yang kurang paham dengan langkah-langkah algoritma diatas, silahkan berikan komentar Anda.
Selamat mencoba.