Algoritma CMA-ES (Covariance Matrix Adaptation – Evolution Strategy)


Algoritma CMA-ES (Covariance Matrix Adaptation – Evolution Strategy) adalah salah satu algoritma optimasi yang dapat digunakan untuk pengambilan keputusan. Contoh yang dibahas kali ini adalah mengenai pencarian posisi dengan pengembalian nilai fungsi maksimal.



Diasumsikan ada sebaran titik 2 dimensi antara -2 sampai dengan 2
Fungsi yang diketahui adalah fungsi Himmelblau, dengan rumus f(x, y) = (x^2+y-11)^2 + (x+y^2-7)^2
Tentukan posisi dimana fungsi tersebut mengembalikan nilai maksimal



Fungsi Himmelblau adalah salah satu fungsi yang dapat digunakan untuk mengoptimasi suatu permasalahan. Fungsi ini memiliki sebuah nilai maksimum pada x = -0.270845, and y = -0.923039 dengan nilai fungsi sebesar f(x,y) = 181.617, dengan asumsi bahwa rentang minimal dan maksimal dari sebaran titik adalah -2 sampai dengan 2

Grafik fungsi Himmelblau yang normal, atau untuk sebaran titik tak terbatas adalah sebagai berikut.
Grafik Himmelblau

Sedangkan Grafik fungsi Himmelblau untuk sebaran titik dengan rentang minimal -2 dan maksimal 2 adalah sebagai berikut.
Grafik Himmelblau -2sd2
Dapat dilihat bahwa pada gambar tersebut, didapatkan area dengan titik tertinggi (berwarna merah) berada pada area x = -0, and y = -1, dimana titik tersebut mengembalikan nilai fungsi tertinggi. Oleh sebab itu digunakan algoritma ini untuk mencari titik di area berwarna merah tersebut.



Sebelum masuk kedalam langkah-langkah pembahasan algoritma, ada beberapa konstanta atau parameter yang harus diketahui, yaitu:
* Tentukan jumlah maksimal iterasi yang digunakan
Diasumsikan dalam kasus ini, jumlah maksimal iterasi adalah 500 kali

* Tentukan jumlah dimensi yang digunakan
Diasumsikan dalam kasus ini, jumlah dimensi adalah 2 karena posisi bunga hanya ditentukan dari 2 sumbu yaitu sumbu x dan y

* Tentukan posisi minimal dan maksimal dari fungsi yang akan dihitung
Jika tidak ada batasan posisi, tentu saja posisi yang mendekati tak terhingga akan terpilih karena akan mengembalikan nilai fungsi yang sangat besar
Diasumsikan dalam kasus ini, posisi minimal adalah -2, dan posisi maksimal adalah +2

* Tentukan matriks batas bawah dan batas atas posisi pada masing-masing dimensi yang sudah ditentukan sebelumnya
Matriks ini akan digunakan untuk mengecek apakah posisi serangga yang baru masih berada dalam batas yang diperbolehkan


Langkah-langkah penggunaan algoritma ini adalah

* Lakukan proses perhitungan dengan metode CMA-ES (Covariance Matrix Adaptation – Evolution Strategy)
Penjelasan tentang fungsi ini akan dijelaskan pada perhitungan dibawah ini (poin 1 – 2)

Memasuki perhitungan pada fungsi CMAES

*Memasuki proses inisialisasi parameter, matriks, dan variabel yang digunakan (poin 1a – 1h)

1a. Tentukan dimensi ukuran matriks yang digunakan
Dalam kasus ini, matriks ukuran dimensi akan berisi data dengan jumlah baris 1 dan jumlah kolom sebanyak parameter dimensi

1b. Lakukan inisialisasi posisi, step, dan nilai fungsi pada individu baru sebanyak jumlah iterasi
Untuk individu pertama, beri nilai posisi acak, dan hitung nilai fungsi pada posisi acak tersebut
Kemudian masukkan individu ini sebagai posisi terbaik sementara

1c. Hitung ukuran populasi yang digunakan

1d. Hitung jumlah induk yang digunakan
Nilai yang digunakan adalah setengah dari ukuran populasi

1e. Hitung bobot induk
Nantinya perhitungan step individu akan dilakukan menggunakan bobot ini sebanyak jumlah induk

1f. Hitung jumlah solusi efektif
Nilai ini akan digunakan dalam perhitungan parameter kontrol step dan update kovarians yang akan dijelaskan setelah ini

1g. Hitung parameter kontrol step yang digunakan, yaitu sigma0, sigmaC, sigmaD, dan ENN
Kemudian lakukan inisialisasi variabel ps dan sigma sebanyak jumlah iterasi
Beri nilai awal sigma pertama dengan nilai sigma0

1h. Hitung paramter update kovarians yang digunakan, yaitu cc, cl, alpha_mu, cmu, hth
Kemudian lakukan inisialisasi variabel pc dan C sebanyak jumlah iterasi
Beri nilai awal C pertama dengan nilai matriks identitas

* Lakukan proses pencarian posisi terbaik (poin 2)

2. Lakukan perhitungan sebanyak jumlah iterasi (poin 2a – 2c)

* Lakukan inisialisasi populasi yang digunakan dalam perhitungan (poin 2a)

2a. Lakukan perhitungan sebanyak ukuran populasi (poin 2a1 – 2a5)

2a1. Beri nilai awal step dengan nilai step acak
Pengacakan step menggunakan teknik multivariate normal acak

2a2. Hitung nilai posisi dengan rumus:
posisi = posisi individu terpilih + sigma individu terpilih * nilai step acak sebelumnya

2a3. Jika posisi tersebut ternyata diluar batas yang diperbolehkan,
maka kembalikan posisinya agar masuk dalam batas tersebut

2a4. Hitung nilai fungsi pada posisi tersebut
Penjelasan tentang fungsi ini akan dijelaskan pada perhitungan dibawah ini

* Gunakan fungsi ini untuk menghitung fitness dengan rumus:
f(x, y) = (x ^ 2 + y – 11) ^ 2 + (x + y ^ 2 – 7) ^ 2

2a5. Jika nilai fungsi pada populasi yang sedang dihitung lebih baik dari nilai fungsi terbaik
maka ambil posisinya sebagai posisi terbaik

2b. Lakukan pengurutan populasi berdasarkan nilai fungsi terbaik (tertinggi) ke nilai fungsi terburuk (terendah)

2c. Selama perhitungan belum dilakukan sebanyak jumlah iterasi, maka lakukan perhitungan berikut (poin 2c1 – 2c8)

* Lakukan proses penghitungan nilai individu pada iterasi berikutnya (poin 2c1 – 2c5)

2c1. Hitung nilai awal step individu berikutnya dengan rumus:
step = E(bobot induk * nilai step pada posisi terbaik dalam populasi

2c2. Kemudian hitung nilai posisi individu tersebut dengan rumus:
posisi = posisi individu sebelumnya + sigma * nilai step individu ini

2c3. Jika posisi tersebut ternyata diluar batas yang diperbolehkan,
maka kembalikan posisinya agar masuk dalam batas tersebut

2c4. Hitung nilai fungsi pada posisi tersebut
Penjelasan tentang fungsi ini sudah dijelaskan pada perhitungan sebelumnya

2c5. Jika nilai fungsi pada individu ini lebih baik dari nilai fungsi terbaik
maka ambil posisi individu ini sebagai posisi terbaik

2c6. Lakukan proses perhitungan parameter kontrol step pada iterasi berikutnya
Parameter yang dihitung adalah ps dan sigma

2c7. Lakukan proses perhitungan parameter update kovarians pada iterasi berikutnya
Parameter yang dihitung adalah pc dan C

2c8. Lakukan perhitungan berikut apabila matriks kovarians bukan bernilai positif
Metode yang digunakan adalah Eigenvector


Hasil akhir adalah:


Contoh modul / source code menggunakan Matlab dapat didownload disini:



Jika membutuhkan jasa kami dalam pembuatan program, keterangan selanjutnya dapat dilihat di Fasilitas dan Harga
Jika ada yang kurang paham dengan langkah-langkah algoritma diatas, silahkan berikan komentar Anda.
Selamat mencoba.

Tinggalkan sebuah komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *